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:: Fiche methode courbe paramétrée ::
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Justine
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MessagePosté le: Dim 8 Nov - 12:39 (2009)    Sujet du message: Fiche methode courbe paramétrée Répondre en citant

J'ai rapidement fait une petite fiche méthode pour les courbes en polaire. J'ai sûrement oublié des détails donc n'hésitez pas à compléter ^^

Fiche méthode pour les courbes en polaire 
 
 
 
 
 
 
 
 
  1. On donne le domaine de définition et de dérivation de la courbe ainsi que sa classe

  2. On réduit le domaine d’étude grâce aux formules du cours (périodicité, symétries…)

  3. On étudie le signe et l’annulation de r : quand r(alpha) = 0 alors la droite thêta = alpha dirige la tangente en 0

  4. On calcule r’ et son annulation : ainsi quand r’(thêta) = 0 et r(thêta) différent de 0, on a une tangente orthoradiale (perpendiculaire à u(thêta))

  5. On en déduit les variations de r dans un tableau, et on le complète avec les valeurs de r pour des thêta particuliers, ainsi que les limites

  6. On étudie les branches infinies : thêta -> l’infini et/ou r(thêta)-> l’infini avec le changement de repère du cours :

-         thêta-> l’infini : si r(thêta)-> 0 alors point asymptote O
                           si r(thêta)-> a différent de 0 alors courbe asymptote de centre O et de rayon a

                                 si r(thêta) -> l’infini, spirale
-         thêta->thêta0 et r(thêta)-> l’infini : X (thêta) = r(thêta)cos (thêta-thêta0)
                                                         Y(thêta) = r(thêta) sin (thêta-thêta0)
si Y->b : Y=b asymptote
si Y-> l’infini : Y=0 asymptote
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MessagePosté le: Dim 8 Nov - 12:39 (2009)    Sujet du message: Publicité

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Tristan
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MessagePosté le: Dim 8 Nov - 13:56 (2009)    Sujet du message: Fiche methode courbe paramétrée Répondre en citant

je la ferais lundi (parce que la je n'ai pas accès au TeX) mais merci Wink
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MessagePosté le: Dim 8 Nov - 13:57 (2009)    Sujet du message: Fiche methode courbe paramétrée Répondre en citant

Cette fiche est très bien, je ne vois pas grand chose à ajouter. Petite précision quand même, le tableau de variation de r n'est nécessaire que dans 10% des cas. Si la dérivée de change pas de signe et que r non plus, on peu tracer. Autre remarque : il faut faire très attention au sens de r : si l'intervalle d'étude est [tex]\displaystyle{[0,\frac{\pi}{4}]}[/tex], c'est à dire le cadran supérieur droit, et que r est négatif sur cet intervalle, on doit dessiner dans le cadran inférieur gauche.
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Tristan
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MessagePosté le: Dim 8 Nov - 14:03 (2009)    Sujet du message: Fiche methode courbe paramétrée Répondre en citant

 
Citation:
 réduit le domaine d’étude grâce aux formules du cours (périodicité, symétries…)


je laisse ca comme ca ou je met le cours (dans les autres fiches aussi) en tout petit (genre 6 pouces)
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MessagePosté le: Dim 8 Nov - 14:05 (2009)    Sujet du message: Fiche methode courbe paramétrée Répondre en citant

Un truc que j'ai pas bien saisi  c'est la tangente, j'ai cru comprendre qu'elle avait comme coordonnées (r(theta);r'(theta)) mais dans la base (u(theta);vecteur directement orthogonal à u)
c'est ça ou bien autre chose?
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Tristan
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MessagePosté le: Dim 8 Nov - 14:25 (2009)    Sujet du message: Fiche methode courbe paramétrée Répondre en citant

oui, je donne une synthèse

[tex]\left(O,\vec{e_{1}},\vec{e_{2}}\right)[/tex] un repère orthonormal du plan

A tout point [tex]M[/tex]du plan (distinct de [tex] O [tex]), on peut associer les coordonnées polaire [tex](r,\theta) [tex] tq : [tex]\vec{OM}=r\vec{u}[tex]

Dans ce cas la : [tex]\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)[/tex]  est un repère polaire orthonormal lié à M et defini par :

[tex]\left(\vec{e_{1}},\vec{u}\right)=\theta[/tex] ; [tex]\left(\vec{u},\vec{v}\right)=\frac{\pi}{2}[tex]



En [tex]M(\theta) \neq O[/tex], [tex]\Gamma [tex] admet une tangente dirigée par le vecteur [tex]\vec{T}=r'(\theta)\vec{u}+r(\theta)\vec{v}[tex]


Edit : j'ai remplacer mes $ par des balises TeX
et faudrait régler ce problème de balise qui refuse de se fermer >.<
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MessagePosté le: Dim 8 Nov - 14:53 (2009)    Sujet du message: Fiche methode courbe paramétrée Répondre en citant

J'avais inversé r et r', je m'étais basé sur l'exo du cours sur le cardioïde, quand la prof a calculé le vecteur directeur de la tangente en Pi/2 elle l'a directement changé dans la base [tex](0,\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}})[/tex] d'où l'échange entre r et r'

Edit: Non je raconte n'importe quoi... dans le cours, le vecteur directeur de la tangente en Pi/2 dans [tex](0,\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}})[/tex] vaut (a,a) on devrait donc avoir comme coordonnées dans [tex](0,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})  (a,-a) mais j'ai (-a,a). J'ai un problème quelque part Neutral

Edit2: Yahoo j'ai trouvé, j'ai juste, dans l'exo, inversé r et r' ben ouai, tout ça pour ça
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MessagePosté le: Dim 8 Nov - 15:37 (2009)    Sujet du message: Fiche methode courbe paramétrée Répondre en citant

CDC a écrit:

J'avais inversé r et r', je m'étais basé sur l'exo du cours sur le cardioïde, quand la prof a calculé le vecteur directeur de la tangente en Pi/2 elle l'a directement changé dans la base [tex](0,\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}})[/tex] d'où l'échange entre r et r'

Edit: Non je raconte n'importe quoi... dans le cours, le vecteur directeur de la tangente en Pi/2 dans [tex](0,\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}})[/tex] vaut (a,a) on devrait donc avoir comme coordonnées dans [tex](0,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})  (a,-a) mais j'ai (-a,a). J'ai un problème quelque part Neutral

Edit2: Yahoo j'ai trouvé, j'ai juste, dans l'exo, inversé r et r' ben ouai, tout ça pour ça


Je ne comprends strict. rien
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MessagePosté le: Dim 8 Nov - 15:58 (2009)    Sujet du message: Fiche methode courbe paramétrée Répondre en citant

Petite fiche sur les tangentes :

Il faut étudier les annulations de [tex]r(\theta)[tex] et [tex]r'(\theta)[tex] sur l'intervalle d'étude(après réduction)

1) Si [tex]r(\theta_0) = 0[tex], on a une tangente en 0 dirigée par la droite d'équation [tex]\theta = \theta_0[tex]
2) Si [tex]r(\theta_0) \neq 0[tex], et que [tex]r'(\theta_0) = 0[tex], on a une tangente orthoradiale au point [tex]M(\theta, r(\theta))[tex] et orthogonal à [tex]\vec{u}(\theta)[tex], c'est à dire orthogonal à [tex]\vec{OM}(\theta, r(\theta))[tex]

Voila j'espère que ctte fiche est assez claire.

P.S. : cette fiche est le détail de la partie 3 et 4 de la fiche de justine.

edit : need Tristan pour régler ce bug


Dernière édition par Nicop le Dim 8 Nov - 16:26 (2009); édité 5 fois
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Tristan
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MessagePosté le: Dim 8 Nov - 16:20 (2009)    Sujet du message: Fiche methode courbe paramétrée Répondre en citant

Nicop a écrit:

Petite fiche sur les tangentes :

Il faut étudier les annulations de [tex]r(\theta)[/tex] et [tex]r'(\theta)[/tex] sur l'intervalle d'étude(après réduction)

1) Si [tex]r(\theta_0) = 0[/tex], on a une tangente en 0 dirigée par la droite d'équation [tex]\theta = \theta_0[\tex]
2) Si [tex]r(\theta_0) \neq 0[/tex], et que [tex]r'(\theta_0) = 0[/tex], on a une tangente orthoradiale au point [tex]M(\theta, r(\theta))[/tex] et orthogonal à [tex]vec{u}(\theta)[/tex], c'est à dire orthogonal à [tex]\vect{OM}(\theta, r(\theta))[/tex]

Voila j'espère que ctte fiche est assez claire.

P.S. : cette fiche est le détail de la partie 3 et 4 de la fiche de justine.

edit : need Tristan pour régler ce bug



Le bug vient du fait que pour le ferme au milieu d'une phrase il faut l'encadrer de deux balise tex (sans le slash)

pour faire un vecteur c'est \vec et pas \vect

Citation:




 Petite fiche sur les tangentes :

Il faut étudier les annulations de [tex]r(\theta)[tex] et [tex]r'(\theta)[tex] sur l'intervalle d'étude(après réduction)

1) Si [tex]r(\theta_0) = 0[tex], on a une tangente en 0 dirigée par la droite d'équation [tex]\theta = \theta_0[tex]
2) Si [tex]r(\theta_0) \neq 0[tex], et que [tex]r'(\theta_0) = 0[tex], on a une tangente orthoradiale au point [tex]M(\theta, r(\theta))[tex] et orthogonal à [tex]vect{u}(\theta)[tex], c'est à dire orthogonal à [tex]\vect{OM}(\theta, r(\theta))[tex]

Voila j'espère que ctte fiche est assez claire.

P.S. : cette fiche est le détail de la partie 3 et 4 de la fiche de justine.

edit : need Tristan pour régler ce bug




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MessagePosté le: Dim 8 Nov - 17:15 (2009)    Sujet du message: Fiche methode courbe paramétrée Répondre en citant

Merci Nico pour tes précisions ! J'avais pas pensé à l'histoire du r négatif qui change le cadran pour le tracé...
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MessagePosté le: Dim 8 Nov - 17:55 (2009)    Sujet du message: Fiche methode courbe paramétrée Répondre en citant

Justine t'as oublié une précision.

quand r(theta) negatif, on prend la valeur absolu de r(theta) et on rajoute Pi a l'angle
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MessagePosté le: Dim 8 Nov - 18:02 (2009)    Sujet du message: Fiche methode courbe paramétrée Répondre en citant

Rien n'empeche de tracer négativement...
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MessagePosté le: Dim 8 Nov - 18:03 (2009)    Sujet du message: Fiche methode courbe paramétrée Répondre en citant

Un rayon negatif ?? Tu me montreras  Cool
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MessagePosté le: Dim 8 Nov - 18:08 (2009)    Sujet du message: Fiche methode courbe paramétrée Répondre en citant

Ben tu trace à l'envers et ca marche...
C'est un rayon algébrisé dirons nous ^^
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